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수학 16

형식주의 (Formalism), 수학의 모든건 현실에 있지 않은데, 그렇다면 수학은 뭘까? 형식주의 (Formalism), 수학의 모든건 현실에 있지 않은데, 그렇다면 수학은 뭘까? 수학적 형식주의 소개형식주의는 수학의 이론이라기 보다는 철학적 입장입니다. 일반 철학에서 말하는 형식주의는 다른 뜻이 있는거 같은데 (검색해 보니 칸트나 윤리학이 나오더라구요 🫠) 수학철학에서는 약간 다른 의미를 가지고 있습니다.처음 초등학교 떄 수학을 배우면 실세상의 센다라는 개념을 추상화 한걸 숫자라고 한다고 배웁니다. 실제로 숫자는 고대에서 일상생활에서 자주하는 세는 행동을 추상화한 거에서 나왔을 수 있습니다. 하지만 이렇게 생각하면 이상한게 몇 개 생깁니다. 음수는 센다라는 개념에서는 나올 수 없습니다. 꼭 센다에서 벗어나서 음수가 일상생활에 쓰이는 곳이 많다면 허수는 어떨까요?실수나 초월수도 정확한 해당 값이 정말로 현실에 있다고 말할 수 있을까요? 즉, 수라는 개념을 떠올리는데는 현실의 어떤.. 2024. 5. 2.
🥤 빨대의 구멍은 몇 개 일까? 🥤 빨대의 구멍은 몇 개 일까? 발단 퇴근 길에 블라인드를 보던 중 흥미로운 인기글을 봤습니다. 바로 빨대의 구멍은 몇 개 인가라는 글이였는데요. 댓글에서는 예상대로 뜨거운 논쟁이 벌어지고 있었는데, 댓글의 반응을 요약하면 크게 4가지로 갈린거 같아요. (이유없이) 1개/2개다 ~한 이유로 1개/2개다 위상수학적으로 1개다 구멍의 정의는 ~하고 빨대는 이 정의에 부합하지 않아서 구멍이 없다 쓸데없어 보이는 논쟁이지만 사람마다 답이 갈린다는게 신기했고, 또 제가 생각하는 답은 댓글에 없어서 정리해서 적어보면 재밌을 거 같아 제 생각을 적어보게 됐습니다! 제 자신의 배경 소개 후광효과를 바라고 하는건 아니고, 어떤 배경과 경험을 했냐에 따라 답이 달라질 거 같아서 제 자신을 간단히 소개하겠습니다. 빨대 논쟁(?)에서 유효한 제 경험은 2가.. 2023. 12. 16.
기하학 고치기 2단계 - 사이 공리(Betweeness Axiom) 기하학 고치기 2단계 - 사이 공리(Betweeness Axiom) 사이는 또 뭐야? 너와 나 우리 사이? 사실 그 사이가 맞긴 합니다. 어떤 것이 어떤 것 사이에 있다, 언뜻 간단해 보이는 사이를 엄밀하게 정의하려고 시도하면 굉장히 어렵다는걸 깨달으실거에요. 그래서 기하학에서는 사이를 무정의 용어 (Undefined Terms)로 사용합니다. 사이공리 톺아보기 사이공리는 총 4가지가 있습니다. 앞서 설명했듯이, 무정의 용어에 관한 공리들은 무정의 용어에 의미에 제한을 가해 무정의 용어가 의미 있게 만듭니다. 사이공리를 하나하나 알아봐서 사이의 의미를 파악해 보시죠! 레츠고 1번째 사이공리 B가 A와 C의 사이에 있다는 것은, A, B, C를 모두 지나는 (결합하는) 선이 존재하고, B가 C와 A의 사이에도 반드시 있다는 걸 의미한다 2번째 사이공리 모든 2개의 점에 대.. 2021. 7. 13.
기하학 고치기 1단계 - 결합 공리(Incidence Axiom) 기하학 고치기 1단계 - 결합 공리(Incidence Axiom) 결합? 그게 뭔데 씹덕아 결합은 쉽게 말해 만난다, 교차한다 입니다. 두 직선이 한 점에서 만난다 할 때 그 만난다 아시죠? 결합 공리 톺아보기 결합 공리는 총 3가지로 이루어져 있습니다! 3가지 공리는 기하학의 무정의 용어인 결합이 무엇인지 알려줍니다. 정상적인 언어로 다시 표현하자면, 모든 2개의 점은 이를 잇는 유일한 직선이 존재한다 모든 직선은 직선 위에 있는 같지 않은 2개의 점이 존재한다 서로 같은 직선에 있지 않은 3개의 점이 존재한다 수학적 모델 (Mathematical Model), 동형사상 (Isomorphism) 앞서 말했듯, 모든 공리 체계는 무정의 용어를 쓸 수 밖에 없습니다. 그렇다고 무정의 용어가 아무거나 될 수 있는건 아니고, 공리가 무정의 용어의 동작이나 특징을 묘사해 준다.. 2021. 7. 9.
유클리드 공리, 잘못된 버전 그대로 날것으로 알아보기 유클리드 공리, 잘못된 버전 그대로 날것으로 알아보기 앞서 소개했듯, 유클리드의 공리는 틀렸습니다. 정확히 말하면, 유클리드의 5개의 공리로는 기하학을 증명하기에 충분하지 않습니다. 여기서 기하학이란 우리 직관이 통하는 2차원 평면 기하학을 말합니다. (헷갈리게도 흔히 유클리드 기하학이라고 부릅니다. 유클리드 기하학인데 유클리드 공리로는 증명할 수 없습니다... 아무튼) 사실 유클리드 기하학의 명제들을 증명하기 위해서는 13개의 공리가 필요한데요. 힐베르트가 만들어서 흔히 힐베르트 공리라 불립니다. 하지만 일단 유클리드 형의 업적을 기릴 겸, 연습 할 겸, 유클리드의 공리를 잘못된 버전 그대로 날것으로 알아보면 좋을 거 같아요. 레츠고! 무정의 용어 (Undefined Term) 이 목차만 보고 뒤로가기를 누르실 분들이 50%는 넘을 거 같지만, 어쩔 수 .. 2021. 7. 5.
기하학의 공리적 접근, 논증 기하학 기하학의 공리적 접근, 논증 기하학 기하학은 우리가 학창시절 배웠던 도형이라는 과목으로 친근합니다. 도형이 어려우면 얼마나 어렵길래 논증 기하학이라는 있어 보이는 이름을 붙인 걸까요? 아니 애초에 도형이 수학적으로 다룰게 많을까요? 논증 기하학에 대해 자세히 알아보기 전에, 기하학이 무엇이고 왜 기하학에 수학적으로 엄밀한 접근을 해야 하는지 간단히 소개해 보겠습니다! 기하학이 뭘까? 수학의 여러 분야를 공부하다 보면 종특이 있습니다. 바로 일상에서 자주 볼 수 있는 대상으로 시작해서 나중가면 너무 추상적이여서 이게 뭐가 뭔지 모르는 대상을 다루고 있다는 겁니다. 기하학도 비슷합니다. 처음에는 우리 일상에서 쉽게 볼 수 있는 도형들이나 각도 등을 연구하는 듯 하지만, 나중가면 공간의 성질, 공간의 본질을 연구하게 됩니다. 기하학을 굳이 왜 .. 2021. 7. 3.
수학과에서는 어떤 수업을 들을까? 수학과에서는 어떤 수업을 들을까? 저는 대학에서 수학을 전공하고 있습니다. 제가 대학에서 들은 수업을 되돌아 보며 가볍게 소개하는 시간을 가지면 재밌기도 할거 같고, 수학과에서는 어떤 수업을 듣는지 궁금하거나 수학을 전공하려고 하는 분들께 참고가 될 거 같아 제가 대학교를 다니며 들은 수학과 관련된 수업을 모두 정리해 봤습니다. 빨간색으로 되어 있는 수업은 전공 필수지만 아직 듣지 않은 수업들입니다. 개요 수학과 수업은 크게 4가지 경우로 나눌 수 있습니다. 첫 번째는, 이론과 계산을 배우는, 많은 분들이 수학하면 흔히 떠올리는 수업입니다. 이 수업에서는 고등학교 때 까지 배워왔던 방식으로 대학 수학의 내용을 배웁니다. 예를 들어, 같은 미적분인데 여러개의 변수를 가지는 함수의 미적분을 배우는 다변수 미적분학이나, 미분방정식, 또 선형 .. 2021. 7. 2.
수학적 귀납법(Mathematical Induction) 톺아보기 수학적 귀납법(Mathematical Induction) 톺아보기 여태까지 기초적인 증명을 다뤘지만, 이 증명 외에도 자주 쓰이는 증명이 있다. 수학적 귀납법이라고 불리는 이 증명 방식은, 고등학교에서도 다룰 만큼 유명한 증명방식이지만, 생각지도 못한 곳에서 자주 튀어나오는, 꼭 익혀둬야 할 증명방식이다. 수학적 귀납법이란? 수학적 귀납법은 다른 증명들과 마찬가지로, 명제가 사실임을 보이는 과정이다. 그 중에서도 특히, 자연수에서만 성립한다. 수학적 귀납법은 도미노와 비슷하다. 수학적 귀납법은 크게 2가지 과정으로 나뉘어 진다. 다음과 같은 명제가 있다고 하자. ∀n ∈ N P (n) : 자연수인 모든 n에 대하여, P(n)이 성립한다. 1. 이 명제가 가장 작은 조건(일반적으로 1)에서 성립함을 보인다. (즉, P(1)) 2. 이 명제가 어떤 n에서 성립한다면, n+.. 2021. 6. 14.
정수론 (Number Theory)가 뭘까? 정수론 (Number Theory)가 뭘까? 보통 이산수학에서는 정수론을 다룬다. 정수론은 말 그대로 정수에 관한 학문이다. 보통 이산수학에서 정수론을 다루는 이유는 2가지이다. 첫 번째는 정수는 이산적(Discrete)한 집합이기 때문이고, 두 번째는 여태까지 배운 증명 방법을 연습하기 위해서다. 아무튼, 정수론을 배워보자. 정수론이 뭘까 가우스가 한 이 말은, 수학에서 정수론이 차지하는 위상과 난이도, 그리고 그 아름다움을 모두 말해준다. 정수론은 정수, 즉 마이너스와 0과 플러스로 된 우리가 흔히 생각하는 숫자를 다루는 학문이다. 정수론에서는 흔히 소수(Prime Number), 산술함수 수의 성질 등을 다룬다. 정수론을 배우면 크게 2가지가 좋다. 1. 다른 수학을 할때 정수론적 사고방식이 도움된다. 2. 증명을 하는 방법을 더 잘 알 수 .. 2021. 6. 12.
수학에서 말하는 증명(Proof)이란 뭘까? 수학에서 말하는 증명(Proof)이란 뭘까? 수학의 꽃은 증명이라고 한다. 이산수학에서도 증명은 상당히 중요한 파트 중 하나이다. 오늘은 증명의 정의와 증명이 어떻게 이루어지는지 알아보자! 증명이 도대체 뭐길래? 증명이란 쉽게 말해서 수학적으로 명제가 확실함을 밝히는 과정이다. 조금 더 정확하고 있어보이게 말하자면, 주어진 공리나 이미 증명된 정리로부터 특정 명제나 논리적으로 타당함을 이끌어 내는 과정이라고 볼 수 있다. 여기서 몇 가지 용어를 정리해야 한다. 1. 공리란, 증명할 필요없이 사실로 받아드리는 명제를 말한다. 2. 정리란, 공리로부터 증명된 공리가 아닌 명제를 말한다. 즉, 증명이란 공리가 사실이라면 이 명제는 논리적으로 반드시 사실임을 보이는 과정이다. 증명의 종류 수학에서 가장 많이 쓰이는 증명은 크게 4가지가 있다. 직접증명(D.. 2021. 6. 11.
논리학 - 술어논리 (1차논리) 논리학 - 술어논리 (1차논리) 우리는 명제논리에서, 논리학은 참과 거짓을 구분할 수 있는 명제를 다룬다는 것과, 그 명제들을 논리 연산자를 사용해 더 복잡한 명제로 만든다는 것을 배웠다. 그 과정에서 잠깐 "x는 사람이다" 같은 x의 값에 따라서 사실이 될 수도, 거짓이 될 수도 있는 문장을 다뤘는데, 오늘은 이런 빈사(사실일 수도 거짓일 수도 있는 문장)을 어떻게 명제로 할 수 있는지 알아보고자 한다. 술어 논리는 왜 중요할까? 술어 논리가 중요한 이유는 우리가 흔히 사용하는 문장의 형태는 미지수(모르는 것)을 포함하고 있기 때문이다. 이러한 명제를 논리학적으로 다루기 위해서는 술어 논리를 배워야 한다. 보편 양화사와 존재 양화사 술어 논리는 미지수가 포함된 문장의 범위를 한정시켜서 명제(참과 거짓이 구분 가능)로 만드는 것이다. .. 2021. 6. 10.
수학과를 가기 전에 반드시 알아야 할 사실, 조언들 수학과를 가기 전에 반드시 알아야 할 사실, 조언들 중학교 때부터 수학을 좋아했기 때문에, 막연히 대학을 간다면 수학과를 가야겠다고 생각했었다. 그런 와중에 대학교 수학은 중고등학교 수학과는 다르기 때문에 신중히 결정해야 한다는 말을 듣고, 수학과 관련된 책을 읽어보기로 했다. 수학과 관련된 교양서적부터 수학자들의 일화, 에세이들을 읽고 이른바 수학 뽕에 차올라 대학교는 무조건 수학과를 가겠다고 결심했다. 하지만 이런 안일한 생각으로 결정해서 일까, 혹은 수학과의 벽이 너무 높기 때문일까, 지금 왠지 모를 후회가 남는다. 수학과에 가기로 정했거나 수학과에 진학할걸 고민하고 있는 모든 분들이 알아두면 좋을 사실과 조언을 모아봤다! 내가 정말 수학을 좋아하는지, 다시 생각해보자 수학은 분명 매력이 있는 학문이다. 진리와 구조를 탐구하는 학문이니, 일단 그 대.. 2021. 6. 9.
논리학 - 명제논리 (0차논리) 논리학 - 명제논리 (0차논리) 과학은 수학의 언어로 써져 있다고 한다. 이 말은 과학을 하는 과정에서 각종 수학적 기법을 사용하고, 과학적 관계를 묘사할 때도 수학의 언어와 수식을 사용하기 때문이다. 그렇다면 수학의 언어는 뭘까? 수학의 언어는 논리학이다. 오늘은 논리학에 대해서 알아보자. 논리학의 기초 논리학은 뭐가 맞고 뭐가 틀린지를 엄밀하게 판단하기 위해 발전한 학문이다. 즉, 논리학의 대상은 참과 거짓이 확실해야 한다. 명제(Statement)는 참이거나 거짓, 둘 중 하나인 문장이다. "1 + 1 = 2" 는 명제일까? 명제이다. 특히, 참인(사실인) 명제이다. "1 + 1 = 3" 은 명제일까? 놀랍게도 이것 또한 명제이다. 특히, 거짓인 명제이다. "1 + 1 은 쉽다" 는 명제일까? 아니다! 의견은 참과 거짓이 없기 때.. 2021. 3. 26.
수학은 왜 쓸데없이 엄밀할까? 수학은 왜 쓸데없이 엄밀할까? 고등학교 수학이 아닌 대학수학을 한 번이라도 배워 본 사람이라면 이런 의문을 당연하게 가질 것이다. "수학은 왜 이렇게 당연한 것을 증명하려고 하는거지?" 나도 처음 수학을 배울땐 그런 의문을 가졌고, 처음에는 단순히 지적허영심이라고 생각했다. 내 친구는 심지어 수학자들이 변태라서 그런거라고 하기도 했다. 하지만 수학을 더 배워보니 알게됐다. 수학이 엄밀한 데는 놀랍도록 실용적인 이유가 있다. 수학이 당연한 것을 증명하는 이유! 수학이 당연한 것을 증명하는 이유는 직관을 배제하기 위해서다. 우리가 당연한 것을 당연하다고 생각하는 이유는 익숙하기 때문이다. 중력을 당연하게 생각하는 것도, 1+1=2를 당연하게 생각하는것도, 사실은 익숙하기 때문이다. 때문에 이런 직관에 의지해서 수학을 하게 되면 치명적인 .. 2021. 3. 26.
프로그래머가 되기 위해 알아야 한다고 하는 이산수학이란 무엇일까? 프로그래머가 되기 위해 알아야 한다고 하는 이산수학이란 무엇일까? 초등학교 때 부터 시작해 고등학교 3학년까지 우리는 10년 넘게 수학을 붙들고 있지만, 이산수학이라는 용어도 그렇고, 이산수학 내용이 우리에게는 많이 낯설 수 밖에 없습니다. 그도 그럴게, 학교에서 배우는 수학은 보통 연속수학(Continous Mathematics)이라고 불리우는, 연속된 대상을 다루는 경우가 많기 때문입니다. 연속된 대상이라는게 뭘까요? 1과 2를 상상해 보세요. 1과 2 사이에는 1.1, 1.2, 1.3 등 소수가 무한히 많습니다. 즉, 연속적입니다. 셀 수가 없습니다. 이와는 반대로 이산수학은 자연수(1, 2, 3 ...), 정수(마이너스, 0, 자연수를 합친 것) 같이 딱딱 나눌 수 있는 대상을 다룹니다. 정수나 자연수 뿐만 아니라 경우의 수나, 논리학 같은 대상이 이런 이산수학.. 2021. 3. 26.
수학을 꼭 공부해야 할까? 수학을 꼭 공부해야 할까? 나는 대학에서 수학을 전공하고 있다. 수학을 전공하고 있다는 것은 적어도 입학을 결심했을 당시에는 수학을 좋아했다는 것이고, (지금은 어떤지는 부디 묻지 말아 주길...) 그렇기에 다른 사람들도 수학의 즐거움과 유용함을 알아줬으면 한다. 하지만 전공생의 입장과는 별개로, 많은 사람들이 왜 수학을 공부해야 하는지 의문을 가지고, 수학을 정말 꼭 공부해야 하는지 묻는다. 나는 한 수학 전공생으로써 수학을 꼭 공부해야 할까를 나름대로 답해 보고자 한다. 나는 절대 수학계나 교육계를 대표하지 않으며, 어떠한 권위도 없다. 그냥 일개 개인의 생각일 뿐이다. 결론부터 말하자면, 상황에 따라 다르지만 꼭 공부할 필요는 없다고 생각한다. 그렇다면 어떤 상황에서는 공부해야 하고, 또 어디까지 공부해야 할까? 일단 수학을.. 2021. 3. 19.
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