수학15 🥤 빨대의 구멍은 몇 개 일까? 발단 퇴근 길에 블라인드를 보던 중 흥미로운 인기글을 봤습니다. 바로 빨대의 구멍은 몇 개 인가라는 글이였는데요. 댓글에서는 예상대로 뜨거운 논쟁이 벌어지고 있었는데, 댓글의 반응을 요약하면 크게 4가지로 갈린거 같아요. (이유없이) 1개/2개다 ~한 이유로 1개/2개다 위상수학적으로 1개다 구멍의 정의는 ~하고 빨대는 이 정의에 부합하지 않아서 구멍이 없다 쓸데없어 보이는 논쟁이지만 사람마다 답이 갈린다는게 신기했고, 또 제가 생각하는 답은 댓글에 없어서 정리해서 적어보면 재밌을 거 같아 제 생각을 적어보게 됐습니다! 제 자신의 배경 소개 후광효과를 바라고 하는건 아니고, 어떤 배경과 경험을 했냐에 따라 답이 달라질 거 같아서 제 자신을 간단히 소개하겠습니다. 빨대 논쟁(?)에서 유효한 제 경험은 2가.. 2023. 12. 16. 기하학 고치기 2단계 - 사이 공리(Betweeness Axiom) 사이는 또 뭐야? 너와 나 우리 사이? 사실 그 사이가 맞긴 합니다. 어떤 것이 어떤 것 사이에 있다, 언뜻 간단해 보이는 사이를 엄밀하게 정의하려고 시도하면 굉장히 어렵다는걸 깨달으실거에요. 그래서 기하학에서는 사이를 무정의 용어 (Undefined Terms)로 사용합니다. 사이공리 톺아보기 사이공리는 총 4가지가 있습니다. 앞서 설명했듯이, 무정의 용어에 관한 공리들은 무정의 용어에 의미에 제한을 가해 무정의 용어가 의미 있게 만듭니다. 사이공리를 하나하나 알아봐서 사이의 의미를 파악해 보시죠! 레츠고 1번째 사이공리 B가 A와 C의 사이에 있다는 것은, A, B, C를 모두 지나는 (결합하는) 선이 존재하고, B가 C와 A의 사이에도 반드시 있다는 걸 의미한다 2번째 사이공리 모든 2개의 점에 대.. 2021. 7. 13. 기하학 고치기 1단계 - 결합 공리(Incidence Axiom) 결합? 그게 뭔데 씹덕아 결합은 쉽게 말해 만난다, 교차한다 입니다. 두 직선이 한 점에서 만난다 할 때 그 만난다 아시죠? 결합 공리 톺아보기 결합 공리는 총 3가지로 이루어져 있습니다! 3가지 공리는 기하학의 무정의 용어인 결합이 무엇인지 알려줍니다. 정상적인 언어로 다시 표현하자면, 모든 2개의 점은 이를 잇는 유일한 직선이 존재한다 모든 직선은 직선 위에 있는 같지 않은 2개의 점이 존재한다 서로 같은 직선에 있지 않은 3개의 점이 존재한다 수학적 모델 (Mathematical Model), 동형사상 (Isomorphism) 앞서 말했듯, 모든 공리 체계는 무정의 용어를 쓸 수 밖에 없습니다. 그렇다고 무정의 용어가 아무거나 될 수 있는건 아니고, 공리가 무정의 용어의 동작이나 특징을 묘사해 준다.. 2021. 7. 9. 유클리드 공리, 잘못된 버전 그대로 날것으로 알아보기 앞서 소개했듯, 유클리드의 공리는 틀렸습니다. 정확히 말하면, 유클리드의 5개의 공리로는 기하학을 증명하기에 충분하지 않습니다. 여기서 기하학이란 우리 직관이 통하는 2차원 평면 기하학을 말합니다. (헷갈리게도 흔히 유클리드 기하학이라고 부릅니다. 유클리드 기하학인데 유클리드 공리로는 증명할 수 없습니다... 아무튼) 사실 유클리드 기하학의 명제들을 증명하기 위해서는 13개의 공리가 필요한데요. 힐베르트가 만들어서 흔히 힐베르트 공리라 불립니다. 하지만 일단 유클리드 형의 업적을 기릴 겸, 연습 할 겸, 유클리드의 공리를 잘못된 버전 그대로 날것으로 알아보면 좋을 거 같아요. 레츠고! 무정의 용어 (Undefined Term) 이 목차만 보고 뒤로가기를 누르실 분들이 50%는 넘을 거 같지만, 어쩔 수 .. 2021. 7. 5. 기하학의 공리적 접근, 논증 기하학 기하학은 우리가 학창시절 배웠던 도형이라는 과목으로 친근합니다. 도형이 어려우면 얼마나 어렵길래 논증 기하학이라는 있어 보이는 이름을 붙인 걸까요? 아니 애초에 도형이 수학적으로 다룰게 많을까요? 논증 기하학에 대해 자세히 알아보기 전에, 기하학이 무엇이고 왜 기하학에 수학적으로 엄밀한 접근을 해야 하는지 간단히 소개해 보겠습니다! 기하학이 뭘까? 수학의 여러 분야를 공부하다 보면 종특이 있습니다. 바로 일상에서 자주 볼 수 있는 대상으로 시작해서 나중가면 너무 추상적이여서 이게 뭐가 뭔지 모르는 대상을 다루고 있다는 겁니다. 기하학도 비슷합니다. 처음에는 우리 일상에서 쉽게 볼 수 있는 도형들이나 각도 등을 연구하는 듯 하지만, 나중가면 공간의 성질, 공간의 본질을 연구하게 됩니다. 기하학을 굳이 왜 .. 2021. 7. 3. 수학과에서는 어떤 수업을 들을까? 저는 대학에서 수학을 전공하고 있습니다. 제가 대학에서 들은 수업을 되돌아 보며 가볍게 소개하는 시간을 가지면 재밌기도 할거 같고, 수학과에서는 어떤 수업을 듣는지 궁금하거나 수학을 전공하려고 하는 분들께 참고가 될 거 같아 제가 대학교를 다니며 들은 수학과 관련된 수업을 모두 정리해 봤습니다. 빨간색으로 되어 있는 수업은 전공 필수지만 아직 듣지 않은 수업들입니다. 개요 수학과 수업은 크게 4가지 경우로 나눌 수 있습니다. 첫 번째는, 이론과 계산을 배우는, 많은 분들이 수학하면 흔히 떠올리는 수업입니다. 이 수업에서는 고등학교 때 까지 배워왔던 방식으로 대학 수학의 내용을 배웁니다. 예를 들어, 같은 미적분인데 여러개의 변수를 가지는 함수의 미적분을 배우는 다변수 미적분학이나, 미분방정식, 또 선형 .. 2021. 7. 2. 수학적 귀납법(Mathematical Induction) 톺아보기 여태까지 기초적인 증명을 다뤘지만, 이 증명 외에도 자주 쓰이는 증명이 있다. 수학적 귀납법이라고 불리는 이 증명 방식은, 고등학교에서도 다룰 만큼 유명한 증명방식이지만, 생각지도 못한 곳에서 자주 튀어나오는, 꼭 익혀둬야 할 증명방식이다. 수학적 귀납법이란? 수학적 귀납법은 다른 증명들과 마찬가지로, 명제가 사실임을 보이는 과정이다. 그 중에서도 특히, 자연수에서만 성립한다. 수학적 귀납법은 도미노와 비슷하다. 수학적 귀납법은 크게 2가지 과정으로 나뉘어 진다. 다음과 같은 명제가 있다고 하자. ∀n ∈ N P (n) : 자연수인 모든 n에 대하여, P(n)이 성립한다. 1. 이 명제가 가장 작은 조건(일반적으로 1)에서 성립함을 보인다. (즉, P(1)) 2. 이 명제가 어떤 n에서 성립한다면, n+.. 2021. 6. 14. 정수론 (Number Theory)가 뭘까? 보통 이산수학에서는 정수론을 다룬다. 정수론은 말 그대로 정수에 관한 학문이다. 보통 이산수학에서 정수론을 다루는 이유는 2가지이다. 첫 번째는 정수는 이산적(Discrete)한 집합이기 때문이고, 두 번째는 여태까지 배운 증명 방법을 연습하기 위해서다. 아무튼, 정수론을 배워보자. 정수론이 뭘까 가우스가 한 이 말은, 수학에서 정수론이 차지하는 위상과 난이도, 그리고 그 아름다움을 모두 말해준다. 정수론은 정수, 즉 마이너스와 0과 플러스로 된 우리가 흔히 생각하는 숫자를 다루는 학문이다. 정수론에서는 흔히 소수(Prime Number), 산술함수 수의 성질 등을 다룬다. 정수론을 배우면 크게 2가지가 좋다. 1. 다른 수학을 할때 정수론적 사고방식이 도움된다. 2. 증명을 하는 방법을 더 잘 알 수 .. 2021. 6. 12. 수학에서 말하는 증명(Proof)이란 뭘까? 수학의 꽃은 증명이라고 한다. 이산수학에서도 증명은 상당히 중요한 파트 중 하나이다. 오늘은 증명의 정의와 증명이 어떻게 이루어지는지 알아보자! 증명이 도대체 뭐길래? 증명이란 쉽게 말해서 수학적으로 명제가 확실함을 밝히는 과정이다. 조금 더 정확하고 있어보이게 말하자면, 주어진 공리나 이미 증명된 정리로부터 특정 명제나 논리적으로 타당함을 이끌어 내는 과정이라고 볼 수 있다. 여기서 몇 가지 용어를 정리해야 한다. 1. 공리란, 증명할 필요없이 사실로 받아드리는 명제를 말한다. 2. 정리란, 공리로부터 증명된 공리가 아닌 명제를 말한다. 즉, 증명이란 공리가 사실이라면 이 명제는 논리적으로 반드시 사실임을 보이는 과정이다. 증명의 종류 수학에서 가장 많이 쓰이는 증명은 크게 4가지가 있다. 직접증명(D.. 2021. 6. 11. 이전 1 2 다음
