기하학 고치기 1단계 - 결합 공리(Incidence Axiom)

결합? 그게 뭔데 씹덕아

결합은 쉽게 말해 만난다, 교차한다 입니다. 두 직선이 한 점에서 만난다 할 때 그 만난다 아시죠?

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결합 공리 톺아보기

결합 공리는 총 3가지로 이루어져 있습니다! 3가지 공리는 기하학의 무정의 용어인 결합이 무엇인지 알려줍니다.

 

정상적인 언어로 다시 표현하자면,

 

1. 모든 2개의 점은 이를 잇는 유일한 직선이 존재한다
2. 모든 직선은 직선 위에 있는 같지 않은 2개의 점이 존재한다
3. 서로 같은 직선에 있지 않은 3개의 점이 존재한다

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수학적 모델 (Mathematical Model), 동형사상 (Isomorphism)

앞서 말했듯, 모든 공리 체계는 무정의 용어를 쓸 수 밖에 없습니다. 그렇다고 무정의 용어가 아무거나 될 수 있는건 아니고, 공리가 무정의 용어의 동작이나 특징을 묘사해 준다고 했는데요. 이 말은 반대로 하면 공리가 무정의 용어의 semantic에 제한을 가한다는 겁니다. 

 

하지만 보통 공리가 가하는 제한은 매우 적습니다. (왜냐하면 제한이 너무 과하면 수학이 다른 분야에 쉽게 적용할 수 없어 유용하지 않게 돼요) 그래서 이런 무정의 용어를 공리가 가한 제약을 모두 지키면서 해석한 것을 수학적 모델이라고 부릅니다.

 

이 수학적 모델이라는 개념을 알면 정신 나갈 거 같은 여러 해석이 가능한데요. 예를들어 우리가 태어나서 가장 처음 받아드린다고 말할 수 있는 수학 개념인 자연수는 1개의 수학적 모델에 불과하다는 겁니다...! 자연수가 꼭 숫자일 필요는 없다는 거죠. 자연수 공리는 5가지가 있는데요. 잠깐 소개하자면...

 

1. 처음 시작하는 무언가가 있다 (자연수에서는 1이라고 정의)
2. 다음이라는게 정의돼 있다 
3. 다음이 무한히 계속된다
4. 모든 원소가 똑같은 다음을 갖지는 않는다
5. 위 조건을 만족하는 가장 작은 집합이다

 

위의 자연수 공리를 모순없이 만족하면 모두 자연수의 수학적 모델입니다. 이렇게 수학적 모델의 모든 원소를 연관시키는 1:1 관계가 존재하면 이를 두 수학적 모델이 동형사상이라고 부릅니다.

 

예를들어 가끔 어떤 분들을 보면 계산을 할 때 도형으로 생각하는 분들이 있는데요. 이건 자연수의 계산과 도형들의 조작 사이에 동형사상이 있기 때문에 가능한 겁니다. (물론 엄밀한 의미에서는 동형사상이 존재하지 않을 가능성이 높습니다)

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결합 공리가 충분하지 않은 이유

결합 공리만으로는 당연하지만 우리가 아는 기하학을 묘사하기에는 충분하지 않습니다. 당장 유클리드의 5번째 공리는 결합 공리만으로는 증명할 수 없습니다.

 

결합공리로 유클리드의 5번째 공리를 증명할 수 없다는 증명

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