수학/📐 기하학4 기하학 고치기 2단계 - 사이 공리(Betweeness Axiom) 사이는 또 뭐야? 너와 나 우리 사이? 사실 그 사이가 맞긴 합니다. 어떤 것이 어떤 것 사이에 있다, 언뜻 간단해 보이는 사이를 엄밀하게 정의하려고 시도하면 굉장히 어렵다는걸 깨달으실거에요. 그래서 기하학에서는 사이를 무정의 용어 (Undefined Terms)로 사용합니다. 사이공리 톺아보기 사이공리는 총 4가지가 있습니다. 앞서 설명했듯이, 무정의 용어에 관한 공리들은 무정의 용어에 의미에 제한을 가해 무정의 용어가 의미 있게 만듭니다. 사이공리를 하나하나 알아봐서 사이의 의미를 파악해 보시죠! 레츠고 1번째 사이공리 B가 A와 C의 사이에 있다는 것은, A, B, C를 모두 지나는 (결합하는) 선이 존재하고, B가 C와 A의 사이에도 반드시 있다는 걸 의미한다 2번째 사이공리 모든 2개의 점에 대.. 2021. 7. 13. 기하학 고치기 1단계 - 결합 공리(Incidence Axiom) 결합? 그게 뭔데 씹덕아 결합은 쉽게 말해 만난다, 교차한다 입니다. 두 직선이 한 점에서 만난다 할 때 그 만난다 아시죠? 결합 공리 톺아보기 결합 공리는 총 3가지로 이루어져 있습니다! 3가지 공리는 기하학의 무정의 용어인 결합이 무엇인지 알려줍니다. 정상적인 언어로 다시 표현하자면, 모든 2개의 점은 이를 잇는 유일한 직선이 존재한다 모든 직선은 직선 위에 있는 같지 않은 2개의 점이 존재한다 서로 같은 직선에 있지 않은 3개의 점이 존재한다 수학적 모델 (Mathematical Model), 동형사상 (Isomorphism) 앞서 말했듯, 모든 공리 체계는 무정의 용어를 쓸 수 밖에 없습니다. 그렇다고 무정의 용어가 아무거나 될 수 있는건 아니고, 공리가 무정의 용어의 동작이나 특징을 묘사해 준다.. 2021. 7. 9. 유클리드 공리, 잘못된 버전 그대로 날것으로 알아보기 앞서 소개했듯, 유클리드의 공리는 틀렸습니다. 정확히 말하면, 유클리드의 5개의 공리로는 기하학을 증명하기에 충분하지 않습니다. 여기서 기하학이란 우리 직관이 통하는 2차원 평면 기하학을 말합니다. (헷갈리게도 흔히 유클리드 기하학이라고 부릅니다. 유클리드 기하학인데 유클리드 공리로는 증명할 수 없습니다... 아무튼) 사실 유클리드 기하학의 명제들을 증명하기 위해서는 13개의 공리가 필요한데요. 힐베르트가 만들어서 흔히 힐베르트 공리라 불립니다. 하지만 일단 유클리드 형의 업적을 기릴 겸, 연습 할 겸, 유클리드의 공리를 잘못된 버전 그대로 날것으로 알아보면 좋을 거 같아요. 레츠고! 무정의 용어 (Undefined Term) 이 목차만 보고 뒤로가기를 누르실 분들이 50%는 넘을 거 같지만, 어쩔 수 .. 2021. 7. 5. 기하학의 공리적 접근, 논증 기하학 기하학은 우리가 학창시절 배웠던 도형이라는 과목으로 친근합니다. 도형이 어려우면 얼마나 어렵길래 논증 기하학이라는 있어 보이는 이름을 붙인 걸까요? 아니 애초에 도형이 수학적으로 다룰게 많을까요? 논증 기하학에 대해 자세히 알아보기 전에, 기하학이 무엇이고 왜 기하학에 수학적으로 엄밀한 접근을 해야 하는지 간단히 소개해 보겠습니다! 기하학이 뭘까? 수학의 여러 분야를 공부하다 보면 종특이 있습니다. 바로 일상에서 자주 볼 수 있는 대상으로 시작해서 나중가면 너무 추상적이여서 이게 뭐가 뭔지 모르는 대상을 다루고 있다는 겁니다. 기하학도 비슷합니다. 처음에는 우리 일상에서 쉽게 볼 수 있는 도형들이나 각도 등을 연구하는 듯 하지만, 나중가면 공간의 성질, 공간의 본질을 연구하게 됩니다. 기하학을 굳이 왜 .. 2021. 7. 3. 이전 1 다음
