유클리드 공리, 잘못된 버전 그대로 날것으로 알아보기

앞서 소개했듯, 유클리드의 공리는 틀렸습니다. 정확히 말하면, 유클리드의 5개의 공리로는 기하학을 증명하기에 충분하지 않습니다. 여기서 기하학이란 우리 직관이 통하는 2차원 평면 기하학을 말합니다. (헷갈리게도 흔히 유클리드 기하학이라고 부릅니다. 유클리드 기하학인데 유클리드 공리로는 증명할 수 없습니다... 아무튼)

 

사실 유클리드 기하학의 명제들을 증명하기 위해서는 13개의 공리가 필요한데요. 힐베르트가 만들어서 흔히 힐베르트 공리라 불립니다. 하지만 일단 유클리드 형의 업적을 기릴 겸, 연습 할 겸, 유클리드의 공리를 잘못된 버전 그대로 날것으로 알아보면 좋을 거 같아요. 레츠고!

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무정의 용어 (Undefined Term)

이 목차만 보고 뒤로가기를 누르실 분들이 50%는 넘을 거 같지만, 어쩔 수 없습니다. 그게 인생입니다. 정확히는 수학과를 선택하신 여러분들의 인생입니다. 수학과가 아니시라고요? 수학과도 아닌데 이런걸 보고 계시다니 훌륭하신 분이군요...

 

아무튼, 앞서 기하학을 엄밀하게 다루기 위해 공리와 논리학이라는 도구가 필요하다고 했는데요, 사실 필요한게 1가지 더 있습니다. 그게 바로 무정의 용어입니다. 모든 명제는 공리로부터 증명을 해야 사실로 받아드린다고 했는데, 용어도 비슷하게 어떤 용어를 정의하기 위해서는 다른 용어를 사용해야 합니다. 근데 그 용어를 설명하기 위해 또 다른 용어를 사용해야 합니다. 정신 나갈 거 같쥬? 

 

결론은 이렇게 계속 올라가다 보면 공리랑 비슷하게 결국 정의없이 받아드리는 용어가 있어야 한다는 원리입니다. 사실 기하학에서 무정의 용어라 해도 수학의 다른 학문을 가져오면 이런 용어가 정의될 수도 있습니다. 예를 들어, 위의 5개의 무정의 용어는 집합론의 무정의 용어를 사용해서 정의될 수 있어요. 

 

근데 정의를 안 하면 어떻게 수학을 할까요? 이건 마치 단어를 정의하지 않고 대화를 한다는거 아닌가요? 사실 무정의라고 하면 무정부 같은 단어들이 떠오르고, 뭔가 의미가 없어 보이는 이미지가 있지만 무정의 용어는 정의를 안 할 뿐이지 이게 대충 뭐고, 어떤 식으로 상호작용하고는 공리가 알려 주기 때문에 문제가 없습니다.

 

아무튼 우리는 기하학을 해야 하니깐 기하학에서 쓰이는 무정의 용어는 5개가 있습니다.

 

• 점 (Point)
• 선 (Line)
• 위에 있다 (Lie on)
• 사이에 있다 (Between)
• 같다 (Congruent)

 

딱 봐도 어떤 의미인지는 알겠죠?

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유클리드 공리 소개

사실 우리가 일상생활에서 대화할 때 쓰는 정상적인 말로도 5개의 공리를 묘사할 수 있지만, 굳이 논리학 기호로도 한 번 더 쓰겠습니다. 이해해 주세요. 제가 배운 전공지식들의 유일한 사용처가 새벽에 누가 보지도 않을 블로그 글 쓸 때 뿐 입니다. 

 

제1 공리

자연어 : 모든 점 P와 P와 같지 않은 모든 점 Q에 대해서, P와 Q를 지나는 유일한 선이 존재한다.

기호 : ∀P ∀Q != P : ∃! in(l, P) ∧ in(l, Q)

 

제2 공리

자연어 : 모든 선분 AB와 모든 선분 CD에 대해서, 선 AB에 위에 있는 유일한 점 E가 존재하는데, B는 A와 E 사이에 있고, 선분 CD는 선분 BE와 같다.

기호 : ∀AB, ∀CD : ∃! E in line AB, A * B * E, CD = BE

 

제3 공리

 

제4 공리

 

제5 공리 - 평행선 공리

 

대충 어떤건지는 아시겠죠? 몰라도 ㄹㅇ ㅋㅋ만 치시면 됩니다!

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유클리드 공리는 허점이 많다

유클리드가 그 먼 고대에서 공리를 사용해 기하학을 해 보겠다는 발상 자체는 훌륭하지만, 결국 직감에 의존했기 때문에 논리적이고 수학적인 허점이 많습니다.

 

많은 용어들을 정의하지 않았지만 무정의 용어에 포함시키지 않았고, 공리를 기술할 때 직관적이지만 하지만 증명은 안 된 다른 공리를 사용했습니다.

 

이를 보완한 힐베르트의 13개 공리를 알아보러 가실려면 밑의 관련글에서 다음글을 찾으실 수 있어요! (아이 신난다)

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