수학과에서는 어떤 수업을 들을까?

저는 대학에서 수학을 전공하고 있습니다. 제가 대학에서 들은 수업을 되돌아 보며 가볍게 소개하는 시간을 가지면 재밌기도 할거 같고, 수학과에서는 어떤 수업을 듣는지 궁금하거나 수학을 전공하려고 하는 분들께 참고가 될 거 같아 제가 대학교를 다니며 들은 수학과 관련된 수업을 모두 정리해 봤습니다.

 

빨간색으로 되어 있는 수업은 전공 필수지만 아직 듣지 않은 수업들입니다.

 

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개요

수학과 수업은 크게 4가지 경우로 나눌 수 있습니다.

 

첫 번째는, 이론과 계산을 배우는, 많은 분들이 수학하면 흔히 떠올리는 수업입니다. 이 수업에서는 고등학교 때 까지 배워왔던 방식으로 대학 수학의 내용을 배웁니다. 예를 들어, 같은 미적분인데 여러개의 변수를 가지는 함수의 미적분을 배우는 다변수 미적분학이나, 미분방정식, 또 선형 대수학이라고 불리는 고등학교 기하와 백터를 일반적인 경우에서 배우는 수업의 경우는 이러한 방식으로 배웁니다.

 

두 번째는, 증명에 바탕을 둔 수업입니다. 증명이야말로 수학의 꽃이기 때문에, 증명 수업이야 말로 대학 수학이 뭔지 알 수 있는 수업입니다. 일반적으로, 여태까지 배워왔던 수학을 엄밀한 증명에 바탕을 둬서 다시 배우거나, 새로운 내용을 처음부터 증명을 바탕으로 배웁니다. 미적분을 엄밀하게 배우는 해석학, 고등학교까지의 기하학을 엄밀하게 배우는 공리적 기하학 등이 대표적인 이미 배웠던 수학을 증명에 바탕을 둬서 다시 배우는 경우이고, 위상 수학 같은 경우가 처음부터 증명을 바탕으로 수학을 배우는 경우입니다. 증명이 왜 중요한지는 여기를 참고해주세요.

 

세 번째는, 수학 이론을 응용하거나, 수학과 관련된 수업들입니다. 사실, 순수수학적 내용은 실제로 도움이 되는 경우는 거의 없기 때문에, 아무래도 수학과가 취업시장에서 살아남기 위해서는 응용수학을 많이 들어둬야 합니다. 저도 실제로 입학 초기에는 순수수학 수업을 많이 들었지만 나중에는 전공필수만 듣고 모두 응용수학으로 채웠습니다. 적은 범위로 보면 데이터 분석이나 통계가 응용수학에 포함되고, 넓은 의미에서 보면 컴퓨터 과학, 심지어는 물리학이나 경제학도 이 범주에 포함될 수 있습니다. 저희 학교에서는 컴퓨터 과학과 물리학을 필수로 들어야 했습니다.

 

네 번째는, 수학을 배우는건 아니지만, 수학과 관련된 철학이나 역사 등의 교양을 배우는 과목입니다. 개인적으로 그다지 흥미롭게 듣지는 않았지만, 오히려 이런 수업을 좋아하는 학생들도 있었습니다. 하지만 수학을 다른 관점에서 바라볼 수 있게 해 줘서 들어둬서 나쁠건 전혀 없는 수업입니다.

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기초수학

심화수학개론

앞으로 대학 수학을 공부해 나갈때 필요한 필수적인 수학 개념들을 습득하는 목적. 기본적으로 명제 논리(Propositional Logic)와 술어 논리(Predicate Logic)를 배우고 난 후, 증명을 배우고, 기초적인 정수론과 집합론(Naive Set Theory)를 배웠다. 이 수업에서 알게 된 것은, 수학의 언어는 논리학과 집합론이라는 것이었다. 많은 수학적 대상이 집합으로써 정의 가능했고, 수학은 단순히 정해진 논리적인 규칙에 따라 흥미로운 새로운 정리를 이끌어 내는 학문이라는 느낌을 받았다.

 

이산수학

기본적으로 심화수학개론과 비슷한 수업이지만, 컴퓨터 과학의 관점에서 기초적인 수학을 배운 수업. 이산수학적인 내용이 컴퓨터 과학에 어떻게 적용되는지 배웠다.

 

일변수미적분학

하나의 변수를 가지고 있는 다양한 종류의 함수(다항함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등)의 미분과 적분, 그리고 그 응용에 대해 배웠다. 미분을 응용하는 다양한 물리 문제를 풀었고, 적분을 응용하는 급수와 극동좌표계(Polar Coodinates) 등을 배웠다.

 

다변수미적분학

변수가 여러개인 함수를 3D Graph, Parametrized Curve, Cantour Map, Vector Field 등의 여러가지 방식으로 표현하는 것과 편미분(Partial Derivatives), 방향도함수(Directional Derivatives) 등의 미분 방식을 배웠고, Line Integral과 Multiple Integral 등의 적분 방식도 배웠다. 또한, Vector Field 에서의 Divergence, Curl 등의 계산 방법과 그 물리적 의미를 배웠고, 이 모든걸 연결짓는 Stockes' Thorem을 배웠다. 

 

미분방정식

미분 방정식은 특정 변화량 관계를 만족하는 함수가 무엇인지 풀이하는 방정식이다. 즉, 일반적인 방정식은 그 해로 숫자를 얻어내는 반면, 미분방정식은 함수를 그 답으로 얻어낸다고 할 수 있다. ODE(Ordinary Differential Equation)의 여러가지 경우의 풀이법을 주로 익히고, ODE의 급수적 풀이법을 배웠다.

 

선형대수학

선형적이라는 것의 의미가 뭔지 배우고, 선형 구조에서 성립하는 정리들을 이끌어 낸 뒤, 백터공간과 매트릭스 같은 대상이 선형적임을 보였다. 또, 고유값 선형변환 같은 개념을 자세한 증명 없이 직관적으로 배웠다. 선형대수학의 대표적인 응용은 모든 함수는 국소적으로는 선형적이라는 것이다.

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증명수학

해석학

실수의 집합 R의 구성적 정의, 즉 R이 완비성 공리 체임을 배우고, 이를 바탕으로 일변수 미적분학의 다양한 개념들을 증명했다. 수열, 미분, 급수, 적분 등에서 파생되는 다양한 정리들을 증명했다.

 

기하학

유클리드의 공리적 접근법을 배웠고, 유클리드의 공리에 어떤 결함이 있는지 배운뒤, 힐베르트의 13개의 공리에 대해 배웠다. Incidence, Betweeness, Congruence, Continuous 공리에 대해 다루고, 공리가 성립하는 대상이 수학적 Model 임을 배웠다. Incidence Geometry, Eulidean Geometry에서 성립하는 정리들을 증명했고, non-Euclidean Geometry의 정리를 증명하고, 거기서 성립하는 다양한 Model을 공부했다.

 

논리학

논리학을 구성하는 무정의 용어와 모든 언어를 구성하는 요소들을 배우고, 이를 바탕으로 명제논리와 술어논리의 구조와 각각의 완전성 정리를 증명했다. 또한 증명 시스템을 배웠고, 다양한 비고전논리학을 배웠다. 마지막으로 비완전성정리를 가볍게 배웠다.

 

선형대수학

기본적으로 선형대수학적인 내용을 증명하는 수업이나, 추상대수학적인 내용도 상당히 들어갔다.

 

복소해석학

 

추상대수학

 

다변수해석학

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응용수학

통계학개론

기초적인 자료의 표현방법, Measure of Central Tendency, Measure of Variation을 비롯한 자료의 측정에 대해 배웠고, 이 자료를 분석하는 방법을 배웠다.

 

통계학심화

R 프로그래밍을 활용해서 다양한 자료들을 확률분포함수에 따라 분석하는 법을 배웠다.

 

그래프이론

다양한 그래프의 정의와 응용에 대해서 배웠다. 생각보다 증명이 많은 수업이었다. 주로 컴퓨터 과학에서의 응용을 다뤘다.

 

객체지향프로그래밍

기초적인 JAVA 프로그래밍과, 객체지향적으로 프로그램을 디자인하는 방법을 배웠다.

 

자료구조

알고리즘의 복잡도와, 자료구조의 선택에 따라 문제 해결의 복잡도가 전혀 다름을 배우고, 각각의 자료구조를 기본적인 배열로부터 설계하고 응용해서 메뉴에 바탕을 둔 다양한 프로그램을 디자인 철학에 따라 디자인하는 법을 배웠다.

 

인공지능프로그래밍

인공지능의 기본적인 정의와, Python에 있는 라이브러리를 활용해서 기본적인 머신러닝을 하는 법을 배웠다.

 

데이터분석

 

알고리즘

 

컴퓨테이션이론

 

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교양수학

수학철학

수학에 도래한 다양한 철학적 문제를 배우고 토론하는 시간을 가졌다.

수학역사

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