논리학 - 술어논리 (1차논리)

우리는 명제논리에서, 논리학은 참과 거짓을 구분할 수 있는 명제를 다룬다는 것과, 그 명제들을 논리 연산자를 사용해 더 복잡한 명제로 만든다는 것을 배웠다. 그 과정에서 잠깐 "x는 사람이다" 같은 x의 값에 따라서 사실이 될 수도, 거짓이 될 수도 있는 문장을 다뤘는데, 오늘은 이런 빈사(사실일 수도 거짓일 수도 있는 문장)을 어떻게 명제로 할 수 있는지 알아보고자 한다.

 

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술어 논리는 왜 중요할까?

술어 논리가 중요한 이유는 우리가 흔히 사용하는 문장의 형태는 미지수(모르는 것)을 포함하고 있기 때문이다. 이러한 명제를 논리학적으로 다루기 위해서는 술어 논리를 배워야 한다.

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보편 양화사와 존재 양화사

술어 논리는 미지수가 포함된 문장의 범위를 한정시켜서 명제(참과 거짓이 구분 가능)로 만드는 것이다. 예를 들어, "x는 빨간색이다." 라는 문장은 참도 거짓도 아니다. 그렇다면 "모든 사과는 빨간색이다."는 어떨까? 이 문장은 참이다. 이런 식으로 x의 범위를 한정시키면 문장을 명제로 바꿀 수 있다. 하지만, 사과는 빨간색이라는 사실은 그다지 쓰임세가 많지 않다.

 

예를들어, 피타고라스의 정리를 생각해보자. 만약 피타고라스의 정리가 "내가 어느날 그린 한 직각 삼각형의 길이의 비율이 a^2 + b^2 = c^2 이였다" 였다면, 이는 수학적인 가치는 전혀 없는 정리였을 것이다. 피타고라스의 정리가 가치있는 이유는 모든 직각삼각형에 대하여 이 정리가 성립하기 때문에 흥미로운 것이다. 모든과 같이 문장에 포함된 미지수의 범위를 특정해 주는 것을 양화사(Quantifier)라고 한다. 그 중에서도 특히, 수학적으로 가치가 있는 양화사는 3가지가 있다.

 

1. 보편 양화사(Universal Quantifier) - 기호 : ∀, 모든
2. 존재 양화사(Existential Quantifier) - 기호 : ∃, 어떤/존재한다

3. 유일 존재 양화사(Unique Existential Quantifier) - 기호: !∃

 

양화사는 보통 기호로 쓰이는 경우가 많기 때문에 기호도 반드시 알아두어야 하고, 또 영어로도 알아두는게 좋다.

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일상적인 명제를 양화사(Quantifier)를 써서 나타내기

양화사를 더 잘 이해하기 위해 일상적인 문장들을 양화사를 써서 나타내보자.

 

아래와 같이 4개의 문장이 있다.

1. 모든 새는 날 수 있다.
2. 어떤 새는 날 수 있다.
3. 새는 날 수 없다.
4. 일부 새는 날 수 없다.

이를 양화사를 써서 기호로 나타내보자. 우선, "새는 날 수 있다"가 공통적으로 있기 때문에 영어 단어 날다 Fly의 앞글자를 따서 F(x)를 x는 날 수 있다로 정하자.

• F(x) = "x는 날 수 있다.

그리고 아래와 같이 x의 범위를 새로 한정시키면 새는 날 수 없다가 된다.

• x ∈ B F(x)

여기까지 왔으면 위의 4개의 문장들을 양화사를 사용해서 표현할 수 있을 것이다.

1. 모든 새는 날 수 있다. = ∀x ∈ B F(x)
2. 어떤 새는 날 수 있다. = ∃x ∈ B F(x)
3. 새는 날 수 없다. = ∀x ∈ B ¬ F(x)
4. 일부 새는 날 수 없다. = ∃x ∈ B ¬ F(x)

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요약

1. 양화사를 사용해서 미지수가 포함된 문장을 명제로 바꿀 수 있다.

2. 양화사에는 크게 보편 양화사(Universal Quantifier)와 존재 양화사(Existential Quantifier)가 있다.

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