보통 이산수학에서는 정수론을 다룬다. 정수론은 말 그대로 정수에 관한 학문이다. 보통 이산수학에서 정수론을 다루는 이유는 2가지이다. 첫 번째는 정수는 이산적(Discrete)한 집합이기 때문이고, 두 번째는 여태까지 배운 증명 방법을 연습하기 위해서다. 아무튼, 정수론을 배워보자.
정수론이 뭘까
가우스가 한 이 말은, 수학에서 정수론이 차지하는 위상과 난이도, 그리고 그 아름다움을 모두 말해준다. 정수론은 정수, 즉 마이너스와 0과 플러스로 된 우리가 흔히 생각하는 숫자를 다루는 학문이다.
정수론에서는 흔히 소수(Prime Number), 산술함수 수의 성질 등을 다룬다.
정수론을 배우면 크게 2가지가 좋다.
1. 다른 수학을 할때 정수론적 사고방식이 도움된다.
2. 증명을 하는 방법을 더 잘 알 수 있게 된다.
증명에서 정의가 중요한 이유
증명을 시작하기 전에 가장 먼저 해야 할 것은 각 용어들의 정의를 정확하게 써 보는 것이다.
"두 짝수의 합은 짝수이다."
라는 명제를 증명한다고 해 보자. 여기서 이 명제를 증명하기 위해서는 짝수의 정확한 정의를 알고, 그 정의에 따라 가정으로부터 결과가 이끌어 내는 걸 보여주면 증명이 완료된다.
예시로 위의 명제를 실제로 증명해 보자.
"두 짝수의 합은 짝수다" 증명하기
1. 짝수의 정의 쓰기
짝수는 뭘까? 2의 배수가 짝수다. 홀수는 반대로 2의 배수가 아닌 수이다. 2의 배수라는 것은 2에 특정한 숫자(정수)를 곱해서 나올 수 있는 수라는 뜻이다. 요약하면, 짝수는 2에 특정한 정수를 곱해서 나타낼 수 있는 수라는 것이다. 이를 기호로 나타내보자.
n은 짝수다 ⇔ ∃k ∈ Z : n = 2k
기호 대신에 말로 해 보면, "n이 짝수라는 것은, 어떤 정수 k가 존재해서 2 곱하기 k가 n이라는것과 동치이다." 가 바로 짝수의 정의가 된다.
2. 증명해야 될게 뭔지 명확하게 하기
다음으로 증명해야 될게 뭘까? 우리가 증명해야 될 것은 두 짝수의 합은 짝수라는 것이다. 이를 기호로 나타내면 다음과 같다.
∀x, y ∈ even ⇒ x + y ∈ even
두 짝수의 합이 짝수라는 것은, 모든 짝수의 합이 짝수라는 것이다. 즉, 두 수가 짝수면, 그 두 수의 합은 짝수이다.
3. 증명하기
그렇다면 실제로 증명해 보자. 두 수가 짝수면, 다른 수도 짝수일까?
∀x, y ∈ even
⇒ ∃k1, k2 ∈ Z (x = 2k1) ∧ (y = 2k2)
⇒ x + y = 2k1 + 2k2
⇒ x + y = 2 (k1 + k2)
⇒ x + y ∈ Z
이렇게, 짝수의 정의에서 시작해 두 짝수의 합이 짝수라는 것을 증명했다!
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