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수학16

수학에서 말하는 증명(Proof)이란 뭘까? 수학의 꽃은 증명이라고 한다. 이산수학에서도 증명은 상당히 중요한 파트 중 하나이다. 오늘은 증명의 정의와 증명이 어떻게 이루어지는지 알아보자! 증명이 도대체 뭐길래? 증명이란 쉽게 말해서 수학적으로 명제가 확실함을 밝히는 과정이다. 조금 더 정확하고 있어보이게 말하자면, 주어진 공리나 이미 증명된 정리로부터 특정 명제나 논리적으로 타당함을 이끌어 내는 과정이라고 볼 수 있다. 여기서 몇 가지 용어를 정리해야 한다. 1. 공리란, 증명할 필요없이 사실로 받아드리는 명제를 말한다. 2. 정리란, 공리로부터 증명된 공리가 아닌 명제를 말한다. 즉, 증명이란 공리가 사실이라면 이 명제는 논리적으로 반드시 사실임을 보이는 과정이다. 증명의 종류 수학에서 가장 많이 쓰이는 증명은 크게 4가지가 있다. 직접증명(D.. 2021. 6. 11.
논리학 - 술어논리 (1차논리) 우리는 명제논리에서, 논리학은 참과 거짓을 구분할 수 있는 명제를 다룬다는 것과, 그 명제들을 논리 연산자를 사용해 더 복잡한 명제로 만든다는 것을 배웠다. 그 과정에서 잠깐 "x는 사람이다" 같은 x의 값에 따라서 사실이 될 수도, 거짓이 될 수도 있는 문장을 다뤘는데, 오늘은 이런 빈사(사실일 수도 거짓일 수도 있는 문장)을 어떻게 명제로 할 수 있는지 알아보고자 한다. 술어 논리는 왜 중요할까? 술어 논리가 중요한 이유는 우리가 흔히 사용하는 문장의 형태는 미지수(모르는 것)을 포함하고 있기 때문이다. 이러한 명제를 논리학적으로 다루기 위해서는 술어 논리를 배워야 한다. 보편 양화사와 존재 양화사 술어 논리는 미지수가 포함된 문장의 범위를 한정시켜서 명제(참과 거짓이 구분 가능)로 만드는 것이다. .. 2021. 6. 10.
수학과를 가기 전에 반드시 알아야 할 사실, 조언들 중학교 때부터 수학을 좋아했기 때문에, 막연히 대학을 간다면 수학과를 가야겠다고 생각했었다. 그런 와중에 대학교 수학은 중고등학교 수학과는 다르기 때문에 신중히 결정해야 한다는 말을 듣고, 수학과 관련된 책을 읽어보기로 했다. 수학과 관련된 교양서적부터 수학자들의 일화, 에세이들을 읽고 이른바 수학 뽕에 차올라 대학교는 무조건 수학과를 가겠다고 결심했다. 하지만 이런 안일한 생각으로 결정해서 일까, 혹은 수학과의 벽이 너무 높기 때문일까, 지금 왠지 모를 후회가 남는다. 수학과에 가기로 정했거나 수학과에 진학할걸 고민하고 있는 모든 분들이 알아두면 좋을 사실과 조언을 모아봤다! 내가 정말 수학을 좋아하는지, 다시 생각해보자 수학은 분명 매력이 있는 학문이다. 진리와 구조를 탐구하는 학문이니, 일단 그 대.. 2021. 6. 9.
논리학 - 명제논리 (0차논리) 과학은 수학의 언어로 써져 있다고 한다. 이 말은 과학을 하는 과정에서 각종 수학적 기법을 사용하고, 과학적 관계를 묘사할 때도 수학의 언어와 수식을 사용하기 때문이다. 그렇다면 수학의 언어는 뭘까? 수학의 언어는 논리학이다. 오늘은 논리학에 대해서 알아보자. 논리학의 기초 논리학은 뭐가 맞고 뭐가 틀린지를 엄밀하게 판단하기 위해 발전한 학문이다. 즉, 논리학의 대상은 참과 거짓이 확실해야 한다. 명제(Statement)는 참이거나 거짓, 둘 중 하나인 문장이다. "1 + 1 = 2" 는 명제일까? 명제이다. 특히, 참인(사실인) 명제이다. "1 + 1 = 3" 은 명제일까? 놀랍게도 이것 또한 명제이다. 특히, 거짓인 명제이다. "1 + 1 은 쉽다" 는 명제일까? 아니다! 의견은 참과 거짓이 없기 때.. 2021. 3. 26.
수학은 왜 쓸데없이 엄밀할까? 고등학교 수학이 아닌 대학수학을 한 번이라도 배워 본 사람이라면 이런 의문을 당연하게 가질 것이다. "수학은 왜 이렇게 당연한 것을 증명하려고 하는거지?" 나도 처음 수학을 배울땐 그런 의문을 가졌고, 처음에는 단순히 지적허영심이라고 생각했다. 내 친구는 심지어 수학자들이 변태라서 그런거라고 하기도 했다. 하지만 수학을 더 배워보니 알게됐다. 수학이 엄밀한 데는 놀랍도록 실용적인 이유가 있다. 수학이 당연한 것을 증명하는 이유! 수학이 당연한 것을 증명하는 이유는 직관을 배제하기 위해서다. 우리가 당연한 것을 당연하다고 생각하는 이유는 익숙하기 때문이다. 중력을 당연하게 생각하는 것도, 1+1=2를 당연하게 생각하는것도, 사실은 익숙하기 때문이다. 때문에 이런 직관에 의지해서 수학을 하게 되면 치명적인 .. 2021. 3. 26.
프로그래머가 되기 위해 알아야 한다고 하는 이산수학이란 무엇일까? 초등학교 때 부터 시작해 고등학교 3학년까지 우리는 10년 넘게 수학을 붙들고 있지만, 이산수학이라는 용어도 그렇고, 이산수학 내용이 우리에게는 많이 낯설 수 밖에 없습니다. 그도 그럴게, 학교에서 배우는 수학은 보통 연속수학(Continous Mathematics)이라고 불리우는, 연속된 대상을 다루는 경우가 많기 때문입니다. 연속된 대상이라는게 뭘까요? 1과 2를 상상해 보세요. 1과 2 사이에는 1.1, 1.2, 1.3 등 소수가 무한히 많습니다. 즉, 연속적입니다. 셀 수가 없습니다. 이와는 반대로 이산수학은 자연수(1, 2, 3 ...), 정수(마이너스, 0, 자연수를 합친 것) 같이 딱딱 나눌 수 있는 대상을 다룹니다. 정수나 자연수 뿐만 아니라 경우의 수나, 논리학 같은 대상이 이런 이산수학.. 2021. 3. 26.
수학을 꼭 공부해야 할까? 나는 대학에서 수학을 전공하고 있다. 수학을 전공하고 있다는 것은 적어도 입학을 결심했을 당시에는 수학을 좋아했다는 것이고, (지금은 어떤지는 부디 묻지 말아 주길...) 그렇기에 다른 사람들도 수학의 즐거움과 유용함을 알아줬으면 한다. 하지만 전공생의 입장과는 별개로, 많은 사람들이 왜 수학을 공부해야 하는지 의문을 가지고, 수학을 정말 꼭 공부해야 하는지 묻는다. 나는 한 수학 전공생으로써 수학을 꼭 공부해야 할까를 나름대로 답해 보고자 한다. 나는 절대 수학계나 교육계를 대표하지 않으며, 어떠한 권위도 없다. 그냥 일개 개인의 생각일 뿐이다. 결론부터 말하자면, 상황에 따라 다르지만 꼭 공부할 필요는 없다고 생각한다. 그렇다면 어떤 상황에서는 공부해야 하고, 또 어디까지 공부해야 할까? 일단 수학을.. 2021. 3. 19.

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