가정
1 - 실수체가 구성 돼 있다
허수를 정의하기 위해서 실수체가 잘 정의돼 있다고 가정해야 합니다. 그리고 실수"체"가 정의돼 있다는 말은 실수는 구성 됐고, 체 공리를 만족한다고 가정합니다.
- 더하기: 실수체에 대해서 닫혀 있음 (Closed)
- 더하기: 결합법칙 (Associativity)
- 더하기: 교환법칙 (Commutativity)
- 더하기: 항등원 (Identity)
- 더하기: 역원 (Inverse)
- 곱하기 실수체에 대해서 닫혀 있음 (Closed)
- 곱하기: 결합법칙 (Associativity)
- 곱하기: 교환법칙 (Commutativity)
- 곱하기: 항등원 (Identity)
- 곱하기: 0 제외 역원 (Inverse)
- 더하기 + 곱하기: 분배법칙 (Distributive)
2 - 허수의 정의
허수의 정의는 실수 2개의 순서쌍 (Ordered Pair)입니다. 정의 단계에서는 i니 제곱근이니 하는 말이 나오지 않습니다. 단순히 (a, b) 순서쌍이고, 이 a, b가 실수 이기만 하면 허수입니다.
하지만 표기는 우리가 익숙한 a + bi로 할 수도 있습니다. 이렇게 이상하게 정의하는 이유는 i를 무정의 용어나 공리로 가정하지 않고 실수로만 구성하기 위해서입니다. 아래에서 정의한 대로 곱셈을 하면 i = (0, 1)로 정의하고, i^2 = -1이라는걸 이끌어 낼 수 있습니다.
3 - 허수의 덧셈, 곱셈의 정의
허수의 덧셈, 곱셈은 아래와 같이 정의합니다.
- 덧셈의 정의: (a1 + a2i) + (b1 + b2i) = (a1 + b1) + (a2 + b2)i
- 곱셈의 정의: (a1 + a2i) (b1 + b2i) = (a1b1 - a2b2) + (a2b1 + a1b2)i
여기서 a1 + a2i라는 익숙한 표기법을 사용했지만 사실 허수는 순서쌍이라는 것을 기억해 주세요! 사실 순서쌍에서 똑같이 덧셈과 곱셈을 정의할 수 있습니다.
- 순서쌍에서 덧셈의 정의: (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2)
- 순서쌍에서 곱셈의 정의: (a1, a2) (b1, b2) = (a1b1 - a2b2, a1b2 + a2b1)
덧셈과 곱셈은 우리가 너무 당연히 받아 드리는 개념이라 이걸 정의한다는 게 낯설 수 있습니다. 특히 우리가 익숙한 많은 수학의 정의가 우리 직관에서 영감을 받아 정의됩니다. 하지만 이런 정의는 결코 당연한 게 아니고, 수학은 그저 수학적으로 유용한 성질이 나온다면 그냥 그렇게 정의하고, 유용한 성질이 나오지 않는다면 굳이 정의하지 않는 겁니다.
예를 들어 허수의 덧셈과 곱셈을 저런 식으로 정의한 것은 우리가 실수에서 익숙한 직관을 지키고, 이렇게 정의하면 허수가 덧셈과 곱셈에 대해 체 (Field)를 이루기 때문입니다.
이건 첫 번째 레슨! 교환 법칙 (Commutative)이 성립한다~!
교환 법칙이 성립하는 건 너무나 당연해 보이지만 사실 그렇지 않습니다! 저희가 가정한 건 실수체와 허수, 허수의 덧셈/곱셈의 정의뿐입니다. 허수를 구성해서 체 (Field)라는걸 증명한 건 아니니 교환법칙이 성립하는지는 모릅니다. 그래서 실수가 교환 법칙이 성립한다는 것을 이용해서 허수에서도 교환법칙이 성립하는지 증명해야 합니다.
일단 임의의 두 허수 a, b가 있다고 가정하겠습니다. 말씀드렸듯 모든 허수는 실수 2개의 순서쌍 (Ordered Pair)이지만, (a, b) 순서쌍은 a + bi로 표기할 수 있습니다.
- a + b = (a1 + a2i) + (b1 + b2i) -> 허수의 정의
- = (a1 + b1) + (a2 + b2)i -> 허수의 덧셈의 정의
- = (b1 + a1) + (b2 + a2)i -> 실수체에서는 교환법칙이 성립
- = (b1 + b2i) + (a1 + a2i) -> 허수의 덧셈의 정의
- = b + a -> 허수의 정의
a + b = b + a가 모든 임의의 허수에 대해 성립하니 허수의 덧셈에서 교환 법칙은 성립합니다!
참고로 여기서 우리가 수학에서 말하는 정의는 iff 이기 때문에 양 방향으로 왔다 갔다 할 수 있습니다. 😉
(곱셈은 글이 너무 길어져서 생략합니다! Left as an exercise to the reader?)
이어서 두 번째 레슨! 결합 법칙 (Associative)이 성립한다~!
다음으로 결합 법칙이 성립함을 증명하겠습니다. 거의 똑같은 과정입니다.
임의의 허수 a, b, c가 있다고 가정하겠습니다.
- a + (b + c) = (a1 + a2i) + {(b1 + b2i) + (c1 + c2i)} -> 허수의 정의
- = (a1 + a2i) + {(b1 + c1) + (b2 + c2)i} -> 허수의 덧셈의 정의
- = {a1 + (b1 + c1)} + {a2 + (b2 + c2)}i -> 허수의 덧셈의 정의
- = {(a1 + b1) + c1} + {(a2 + b2) + c2}i -> 실수체에서는 결합법칙이 성립
- = {(a1 + b1) + (a2 + b2)i} + (c1 + c2i) -> 허수의 덧셈의 정의
- = {(a1 + a2i) + (b1 + b2i)} + (c1 + c2i) -> 허수의 덧셈의 정의
- = (a + b) + c -> 허수의 정의
거의 비슷한 방법으로 모든 허수의 덧셈에 결합 법칙이 성립함을 증명했습니다. 곱하기도 비슷한 방식으로 할 수 있지만, 곱하기는 복잡성이 더하기에 비해 높아 결합 법칙 적용 전과 결합 법칙 적용 후를 모두 전개한 후, 두 식이 같음을 보이는 방식을 사용하겠습니다. 곱하기도 더하기처럼 직관적으로 분해하실 수 있으면 더하기와 똑같이 증명하셔도 전혀 상관없습니다!
(곱셈은 글이 너무 길어져서 생략합니다! Left as an exercise to the reader?)
덧셈의 항등원 (Additive Identity)은 존재하고 유일하다
항등원 (Identity)는 해당 연산을 해도 원래 대상이 바뀌지 않는 대상을 말합니다. 쉽게 말하면 어떤 숫자에 0을 더해도 원래 숫자가 바뀌지 않는데, 이때 0을 항등원이라고 합니다.
우선 허수에 덧셈에 대한 항등원이 존재할까요? 존재합니다. 0 + 0i가 덧셈에 대한 허수의 항등원입니다. a가 임의의 허수라 가정하면,
- (a1 + a2i) + (0 + 0i)
- = (a1 + 0) + (a2 + 0)i -> 허수의 덧셈의 정의
- = a1 + a2i -> 실수체에서 0은 항등원
- = a -> 허수의 정의
존재성은 해당 조건을 만족하는 대상이 있음을 1개라도 보이면 증명이 완료되니 허수에서 덧셈에 대한 항등원은 존재함을 증명했습니다.
다음으로 덧셈에 대한 항등원이 유일함을 증명하겠습니다! 임의의 허수 a가 있고, a', a''를 모두 a에 대한 덧셈의 항등원이라 가정하겠습니다.
- a' = a' + a'' -> 가정
- = a'' + a' -> 위에서 허수에서 교환법칙이 성립함을 증명함
- = a'' -> 항등원의 정의
임의의 항등원 a', a''에 대해 a' = a'' 인걸 보였으니 당연히 항등원원은 유일합니다!
덧셈의 역원 (Additive Inverse)는 존재하고 유일하다
마지막으로 덧셈의 역원의 존재성과 유일성을 증명해 보고 마치겠습니다!
역원 (Inverse)는 연산을 진행하면 항등원이 나오는 대상을 말합니다. 예를 들어 숫자 5에 -5를 더하면 0이 되는데, 이때 -5를 5에 대한 덧셈의 역원이라고 합니다. 역원은 정의에서 항등원을 쓰기 때문에 항등원의 존재성을 증명해야 성립하는 개념입니다.
임의의 허수 a에 대한 역원은 -a입니다.
- (a1 + a2i) + (-a1 - a2i)
- = (a1 - a1) + (a2 - a2)i -> 허수의 덧셈의 정의
- = 0 + 0i = 0 -> 실수에서의 연산
다음으로 유일성을 증명하기 위해 a에 대한 역원이 a', a'' 가 있다고 가정해 보겠습니다.
- a' = a' + 0 -> 항등원의 정의
- = a' + (a + a'') -> 가정
- = (a' + a) + a'' -> 허수에서 결합법칙이 성립함을 위에서 증명
- = 0 + a'' -> 가정
- = a'' -> 항등원의 정의
모든 임의의 역원 a', a''에 대해 a' = a''인걸 보였으니 덧셈의 역원은 유일합니다!
후기
수학을 하는 건 명상을 하는 효과가 있습니다. 암묵적으로 진행하는 건 전혀 없고, 내가 한 가정과 증명한 것들을 명시적으로 말하고, 모든 과정에서 엄밀한 논리적인 규칙들을 써서 일견 당연해 보이는 사실들을 하나씩 증명해 가는 것...
막상 수학을 전공할 때는 몰랐지만 복잡 다난한 세상 속에서 이런 완벽한 증명들을 보고 있으면 왠지 모르게 힐링됩니다.